# 数学二冲刺攻略：微分方程必考的6种变体解析

微分方程是考研数学二中的核心考点，掌握其常见变体及解法对冲刺高分至关重要。本文根据最新教育培训数据，总结出微分方程必考的6种变体，并提供高效解题技巧和实战表格，帮助考生在最后冲刺阶段快速提分。

一、微分方程在考研数学二中的重要性

微分方程在数学二考试中通常占10-15分，涉及选择题、填空题和解答题。从历年真题分析来看，掌握以下6种变体可以覆盖90%以上的考点。

二、必考6种微分方程变体及解法

1. 可分离变量微分方程

形式：frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

解法：分离变量后两边积分

int frac{1}{g(y)}dy = int f(x)dx + C

例题：解方程e^x(e^y-1)dx + e^y(e^x+1)dy = 0

解：分离变量得frac{e^y}{e^y-1}dy = -frac{e^x}{e^x+1}dx，积分得(e^x+1)(e^y-1) = C

2. 齐次微分方程

形式：frac{dy}{dx} = varphi(frac{y}{x})

解法：令u = frac{y}{x}，转化为可分离变量型

xfrac{du}{dx} = varphi(u) – u

例题：解方程xfrac{dy}{dx} = y + sqrt{y – x}

解：令u = y/x，化简得int frac{du}{sqrt{u-1}} = int frac{dx}{x}，解得y + sqrt{y – x} = Cx

3. 一阶线性微分方程

形式：frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

解法：使用积分因子法

y = e^{-int P(x)dx} left( int Q(x)e^{int P(x)dx}dx + C right)

例题：解方程frac{dy}{dx} + frac{2}{x}y = frac{e^x}{x}

解：积分因子e^{int frac{2}{x}dx} = x，解得y = frac{e^x + C}{x}

4. 伯努利方程（特殊非线性）

形式：y\’ + P(x)y = Q(x)y^n

解法：令z = y^{1-n}，转化为线性方程

z\’ + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)

例题：解方程y\’ + frac{y}{x} = xy

解：令z = y^{-2}，得z\’ – frac{2}{x}z = -2x，解得y = pm frac{x}{sqrt{x + C}}

5. 二阶常系数齐次线性方程

形式：y\’\’ + py\’ + qy = 0

解法：解特征方程r + pr + q = 0

特征根情况	通解形式
两不等实根r_1, r_2	y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}
两相等实根r	y = (C_1 + C_2x)e^{rx}
共轭复根alpha pm ibeta	y = e^{alpha x}(C_1cosbeta x + C_2sinbeta x)

例题：解方程y\’\’ – 4y\’ + 4y = 0

解：特征根r=2（二重），通解y = (C_1 + C_2x)e^{2x}

6. 二阶常系数非齐次线性方程

形式：y\’\’ + py\’ + qy = f(x)

解法：齐次通解y_h + 非齐次特解y_p

f(x)形式	特解设定形式
P_n(x)	Q_n(x)
e^{kx}P_n(x)	e^{kx}Q_n(x)
e^{alpha x}(Acosbeta x + Bsinbeta x)	e^{alpha x}(Ccosbeta x + Dsinbeta x)

例题：解方程y\’\’ + y = cos x

解：齐次解y_h = C_1cos x + C_2sin x，特解y_p = frac{x}{2}sin x，通解y = y_h + y_p

三、高频易错点与秒杀技巧

变量代换陷阱：齐次方程换元后常忘记将u换回frac{y}{x}

积分常数遗漏：可分离变量方程积分后易漏掉常数C

特解设定错误：非齐次方程特解形式与齐次解重复时未乘x

特征根计算错误：复数根情况下易混淆实部和虚部

秒杀技巧：对于形如y\’\’ + omegay = 0的方程，可直接写出通解y = C_1cosomega x + C_2sinomega x，无需计算特征根

四、2025考研冲刺建议

重点突破：优先掌握上述6种变体，特别是二阶常系数线性方程

真题训练：近5年真题中微分方程题目至少做3遍

时间分配：考试中微分方程解答题控制在15分钟内完成

错题整理：建立微分方程专属错题本，记录易错点

通过系统掌握这6种微分方程变体及其解法，考生可在数学二考试中稳拿微分方程相关分数。最后冲刺阶段，建议结合本文提供的表格和技巧进行针对性复习，实现高效提分。