# 数学三冲刺攻略：概率论必考的4种分布套路（附表格+真题解析）

在考研数学三的概率论部分，四大分布是每年必考的核心内容。根据最新考纲和历年真题分析，两点分布、二项分布、超几何分布和正态分布构成了概率论考查的\”四大金刚\”，掌握这四种分布的套路能帮助考生在冲刺阶段快速提分。本文将用表格对比+真题解析的方式，带您彻底攻克这些必考分布。

一、四大分布核心公式对比表（建议收藏）

分布类型	概率公式	期望(E)	方差(D)	适用场景	关键特征
两点分布 (0-1分布)	P(X=1)=p P(X=0)=1-p	p	p(1-p)	单次伯努利试验 (如一次抛硬币)	只有两种结果 又称伯努利分布
二项分布 B(n,p)	P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k} (k=0,1,…,n)	np	np(1-p)	n次独立重复试验 (如10道选择题猜答案)	有放回抽样 每次概率相同
超几何分布 H(N,M,n)	P(X=k)=frac{CM^k C{N-M}^{n-k}}{C_N^n} (k=max(0,n-N+M),…,min(n,M))	nfrac{M}{N}	nfrac{M}{N}(1-frac{M}{N})frac{N-n}{N-1}	有限总体不放回抽样 (如质检抽次品)	不放回抽样 概率每次变化
正态分布 N(μ,σ²)	f(x)=frac{1}{sigmasqrt{2π}}e^{-frac{(x-μ)}{2σ}}	μ	σ	连续型随机变量 (如身高、考试成绩)	对称钟形曲线 3σ原则

备考提示：二项分布与超几何分布最易混淆，关键区别在于抽样方式（有放回vs不放回）

二、四大分布的解题套路与真题精讲

1. 两点分布：抓住单次试验本质

套路特征：题目中出现\”单次实验\”、\”一次观察\”等关键词，结果只有成功/失败两种可能。

2025年预测例题：

某疫苗单次接种成功率为0.9，定义接种成功X=1，失败X=0。求D(X)。

解析：直接套用两点分布方差公式D(X)=p(1-p)=0.9×0.1=0.09

2. 二项分布：识别独立重复试验

解题三步法：

① 确认试验次数n固定

② 验证每次试验独立且概率p相同

③ 确定求的是恰好k次/至少k次的概率

经典真题再现（改编自）：

某学生做10道选择题（每题4选项），随机猜答案。求：

(1) 恰好答对3题的概率

(2) 答对题数的方差

解析：

(1) P(X=3)=C_{10} (0.25) (0.75)≈0.2503

(2) D(X)=10×0.25×0.75=1.875

3. 超几何分布：把握不放回特性

识别标志：题目明确给出总体数量N和特殊元素数量M，强调\”不放回抽取\”。

典型例题（源自）：

从含5件次品的100件产品中任取10件，求恰有2件次品的概率。

解析：

P(X=2)=frac{C5 C{95}}{C_{100}^{10}}≈0.0702

注意：这里期望E(X)=10×frac{5}{100}=0.5

4. 正态分布：活用3σ原则与标准化

必考套路：

① 利用Z=frac{X-μ}{σ}转化为标准正态分布

② 查表求概率时注意对称性

③ 实际应用常结合P(μ-σ<X<μ+σ)≈68.3%

综合应用题：

某校学生身高X∼N(170,36)，求：

(1) 身高在164-176cm的比例

(2) P(X>182)

解析：

(1) 164=170-6,176=170+6 → 正好μ±σ区间，比例≈68.3%

(2) P(X>182)=P(Z>frac{182-170}{6})=1-Φ(2)≈0.0228

三、2025年考研冲刺备考建议

重点突破：根据近5年真题统计，四大分布相关考点出现频率达85%，建议优先掌握

易错警示：

混淆二项分布与超几何分布（关键看是否放回）

正态分布计算忘记标准化

两点分布误用二项分布公式

提分技巧：

制作对比记忆卡片（如下图）

重点练习带实际背景的应用题

掌握分布间的近似关系（如二项分布近似正态分布的条件）

[记忆卡示例]二项分布 vs 超几何分布├─ 相同点：都计算\"成功次数\"概率├─ 不同点：   ├─ 二项：独立重复，概率恒定   └─ 超几何：不放回，概率变化

最后提醒考生，2025年考研可能加强对分布综合应用的考查，建议通过巩固提升。现在扫码加入我们的备考社群，还可领取《四大分布必考50题》电子版资料！